正交标架场

昨天，在讨论Nakahara的时候，出现了一些争吵。现在总结一下发表我的看法。

1 标架
在点p(x)的切空间，我们有一组自然基e_{\mu}=\frac{\partial}{\partial x^\mu}。对这个自然基我们可以作任意一个线性变换，变成不是自然基的那些基（这就是书上说的非坐标基），注意啊，在流形上每一点你都做了变换，好了，假设变换矩阵除了是非退化的之外，没有任何限制，只是在每一点满足光滑函数条件，那么，我们得到了一个比黎曼流形稍微复杂一点的结构：标架场。

这个标架场有一个特点，千万不要忘记了，一般线性群。用纤维丛的语言来说，我们现在得到了一个标架丛，一般线性群，正是这丛的结构群（用物理的语言说，就是规范群）。

2 正交标架

现在限制对自然基的变换满足一个条件，就是变换后是一个正交基。对流形上每一点切空间的自然基都如此变换，你就得到了流形上一个特殊的标架场：正交标架场。

无论标架场还是正交标架场，我们可以认为是流形上的一个特殊切矢量场吗？是的。那么：

3 从一个正交标架变换到另外一个正交标架，是不是坐标变换？

不是。什么叫做坐标变换？坐标变换就是说，同一个对象（比如切矢量），当你选择不同的坐标开覆盖的时候，有不同的描写方式。

但是：

从一个正交标架变换到另外一个正交标架，却是从一个矢量变成另外一个矢量。这里根本没有说坐标变换。

任意两个正交标架场之间，在流形上的每一点都相差一个正交变换矩阵，因此，当你说我在流形上定义了一个正交标架场的时候，你有很大的自由度，这个自由度就是SO(m)群。